Для решения задачи необходимо проанализировать геометрические параметры конуса и отверстия. Рассмотрим шаги, которые нужно выполнить для нахождения ответов на такие вопросы.
Шаг 1: Понимание условий задачи
В задаче говорится, что в конусе просверлили сквозное отверстие. Это отверстие является цилиндрическим, и оно проходит через весь конус. Также указано, что радиус этого отверстия в 4 раза меньше, чем радиус основания конуса.
Шаг 2: Определение переменных
Обозначим:
- RR — радиус основания конуса.
- rr — радиус цилиндрического отверстия. Из условия задачи следует, что радиус отверстия rr в 4 раза меньше радиуса основания конуса:
r=R4.r = \frac{R}{4}.
Шаг 3: Геометрия конуса с отверстием
Для вычислений нам понадобится использовать геометрические зависимости, которые связаны с характеристиками конуса и отверстия.
Высота конуса
Пусть высота конуса равна hh. Для вычисления объема или других характеристик конуса с отверстием необходимо учитывать, что отверстие изменяет объем, и, следовательно, все вычисления нужно делать с учетом этой детали.
Объем конуса до сверления
Объем полного конуса можно вычислить по формуле:
Vконус=13πR2h,V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h,
где RR — радиус основания, а hh — высота конуса.
Объем отверстия
Объем цилиндрического отверстия, которое проходит через конус, можно вычислить по формуле:
Vотверстие=πr2h,V_{\text{отверстие}} = \pi r^2 h,
где rr — радиус отверстия, а hh — высота конуса. Поскольку радиус отверстия r=R4r = \frac{R}{4}, то объем отверстия будет:
Vотверстие=π(R4)2h=πR2h16.V_{\text{отверстие}} = \pi \left( \frac{R}{4} \right)^2 h = \frac{\pi R^2 h}{16}.
Шаг 4: Объем конуса с отверстием
Теперь, чтобы получить объем конуса с отверстием, нужно вычесть объем отверстия из объема самого конуса:
Vс отверстием=Vконус−Vотверстие=13πR2h−πR2h16.V_{\text{с отверстием}} = V_{\text{конус}} — V_{\text{отверстие}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h — \frac{\pi R^2 h}{16}.
Чтобы упростить выражение, приведем его к общему знаменателю:
Vс отверстием=πR2h(13−116).V_{\text{с отверстием}} = \pi R^2 h \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{16} \right).
Теперь вычислим разницу в скобках:
13−116=16−348=1348.\frac{1}{3} — \frac{1}{16} = \frac{16 — 3}{48} = \frac{13}{48}.
Таким образом, объем конуса с отверстием будет:
Vс отверстием=πR2h⋅1348.V_{\text{с отверстием}} = \pi R^2 h \cdot \frac{13}{48}.
Шаг 5: Заключение
Объем конуса с отверстие можно выразить через радиус основания RR и высоту hh следующим образом:
Vс отверстием=1348πR2h.V_{\text{с отверстием}} = \frac{13}{48} \pi R^2 h.
Этот результат описывает объем конуса, из которого вычли объем цилиндрического отверстия.
