Чтобы решить уравнение
6x3x2−2x+5+5x3x2−3x+5=2,\frac{6x}{3x^2 — 2x + 5} + \frac{5x}{3x^2 — 3x + 5} = 2,
начнем с того, что сделаем шаги, чтобы упростить выражение. Для этого можно объединить дроби в одну, поскольку у них похожие знаменатели, но есть отличия в числителях.
Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю
Обратите внимание, что в числителе и знаменателе каждой дроби находятся квадратичные выражения, но они различаются. Поэтому для того, чтобы объединить эти дроби, найдем общий знаменатель, которым будет произведение (3×2−2x+5)(3×2−3x+5)(3x^2 — 2x + 5)(3x^2 — 3x + 5).
Перепишем уравнение как
6x(3×2−3x+5)(3×2−2x+5)(3×2−3x+5)+5x(3×2−2x+5)(3×2−2x+5)(3×2−3x+5)=2.\frac{6x(3x^2 — 3x + 5)}{(3x^2 — 2x + 5)(3x^2 — 3x + 5)} + \frac{5x(3x^2 — 2x + 5)}{(3x^2 — 2x + 5)(3x^2 — 3x + 5)} = 2.
Шаг 2: Объединяем дроби
Теперь, когда у нас есть одинаковые знаменатели, можно объединить числители:
6x(3×2−3x+5)+5x(3×2−2x+5)(3×2−2x+5)(3×2−3x+5)=2.\frac{6x(3x^2 — 3x + 5) + 5x(3x^2 — 2x + 5)}{(3x^2 — 2x + 5)(3x^2 — 3x + 5)} = 2.
Упростим числитель:
6x(3×2−3x+5)=18×3−18×2+30x,6x(3x^2 — 3x + 5) = 18x^3 — 18x^2 + 30x, 5x(3×2−2x+5)=15×3−10×2+25x.5x(3x^2 — 2x + 5) = 15x^3 — 10x^2 + 25x.
Теперь сложим эти выражения:
(18×3−18×2+30x)+(15×3−10×2+25x)=33×3−28×2+55x.(18x^3 — 18x^2 + 30x) + (15x^3 — 10x^2 + 25x) = 33x^3 — 28x^2 + 55x.
Итак, числитель у нас:
33×3−28×2+55x.33x^3 — 28x^2 + 55x.
Таким образом, уравнение принимает вид:
33×3−28×2+55x(3×2−2x+5)(3×2−3x+5)=2.\frac{33x^3 — 28x^2 + 55x}{(3x^2 — 2x + 5)(3x^2 — 3x + 5)} = 2.
Шаг 3: Умножаем обе части на общий знаменатель
Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель, чтобы избавиться от дроби:
33×3−28×2+55x=2(3×2−2x+5)(3×2−3x+5).33x^3 — 28x^2 + 55x = 2(3x^2 — 2x + 5)(3x^2 — 3x + 5).
Рассчитаем правую часть. Для этого нужно умножить два квадратичных выражения:
(3×2−2x+5)(3×2−3x+5).(3x^2 — 2x + 5)(3x^2 — 3x + 5).
Распишем это произведение по формуле распределения (или методом перемножения многочленов):
(3×2)(3×2)=9×4,(3x^2)(3x^2) = 9x^4, (3×2)(−3x)=−9×3,(3x^2)(-3x) = -9x^3, (3×2)(5)=15×2,(3x^2)(5) = 15x^2, (−2x)(3×2)=−6×3,(-2x)(3x^2) = -6x^3, (−2x)(−3x)=6×2,(-2x)(-3x) = 6x^2, (−2x)(5)=−10x,(-2x)(5) = -10x, (5)(3×2)=15×2,(5)(3x^2) = 15x^2, (5)(−3x)=−15x,(5)(-3x) = -15x, (5)(5)=25.(5)(5) = 25.
Теперь сложим все полученные члены:
9×4−15×3+15×2−6×3+6×2−10x+15×2−15x+25.9x^4 — 15x^3 + 15x^2 — 6x^3 + 6x^2 — 10x + 15x^2 — 15x + 25.
Объединяя подобные члены, получаем:
9×4−21×3+36×2−25x+25.9x^4 — 21x^3 + 36x^2 — 25x + 25.
Теперь правую часть уравнения можно записать как:
2(9×4−21×3+36×2−25x+25)=18×4−42×3+72×2−50x+50.2(9x^4 — 21x^3 + 36x^2 — 25x + 25) = 18x^4 — 42x^3 + 72x^2 — 50x + 50.
Шаг 4: Сравниваем обе части уравнения
Теперь у нас есть уравнение:
33×3−28×2+55x=18×4−42×3+72×2−50x+50.33x^3 — 28x^2 + 55x = 18x^4 — 42x^3 + 72x^2 — 50x + 50.
Переносим все на одну сторону:
0=18×4−42×3+72×2−50x+50−33×3+28×2−55x.0 = 18x^4 — 42x^3 + 72x^2 — 50x + 50 — 33x^3 + 28x^2 — 55x.
Объединяем подобные члены:
0=18×4−75×3+100×2−105x+50.0 = 18x^4 — 75x^3 + 100x^2 — 105x + 50.
Шаг 5: Решаем полученное уравнение
Это четвертичное уравнение. Решение такого уравнения может потребовать применения численных методов или специального подхода для факторизации (например, если возможно нахождение корней). Можно использовать метод подбора или метод Ньютона для нахождения корней этого уравнения.
Поскольку уравнение четвертой степени не имеет очевидных факторов, можно попытаться решить его с помощью численных методов или с помощью графического подхода.
