Как решить уравнение 6/((x-1)(x+3))-24/((x-2)(x+4))=1?

Для решения уравнения:

6(x−1)(x+3)−24(x−2)(x+4)=1\frac{6}{(x-1)(x+3)} — \frac{24}{(x-2)(x+4)} = 1(x−1)(x+3)6​−(x−2)(x+4)24​=1

следуем следующим шагам.

Шаг 1: Найдем общий знаменатель

Для начала, находим общий знаменатель для обеих дробей. Знаменатели у нас такие: $(x-1)(x+3)$ и $(x-2)(x+4)$. Общий знаменатель будет произведением этих выражений:

$$(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)$$

Шаг 2: Приводим дроби к общему знаменателю

Теперь каждую из дробей приводим к общему знаменателю.

1. Первая дробь 6(x−1)(x+3)\frac{6}{(x-1)(x+3)}(x−1)(x+3)6​ умножается на $(x-2)(x+4)$, чтобы знаменатель стал общим:

6(x−1)(x+3)=6(x−2)(x+4)(x−1)(x+3)(x−2)(x+4)\frac{6}{(x-1)(x+3)} = \frac{6(x-2)(x+4)}{(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)}(x−1)(x+3)6​=(x−1)(x+3)(x−2)(x+4)6(x−2)(x+4)​

2. Вторая дробь 24(x−2)(x+4)\frac{24}{(x-2)(x+4)}(x−2)(x+4)24​ умножается на $(x-1)(x+3)$:

24(x−2)(x+4)=24(x−1)(x+3)(x−1)(x+3)(x−2)(x+4)\frac{24}{(x-2)(x+4)} = \frac{24(x-1)(x+3)}{(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)}(x−2)(x+4)24​=(x−1)(x+3)(x−2)(x+4)24(x−1)(x+3)​

Теперь у нас есть:

6(x−2)(x+4)(x−1)(x+3)(x−2)(x+4)−24(x−1)(x+3)(x−1)(x+3)(x−2)(x+4)=1\frac{6(x-2)(x+4)}{(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)} — \frac{24(x-1)(x+3)}{(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)} = 1(x−1)(x+3)(x−2)(x+4)6(x−2)(x+4)​−(x−1)(x+3)(x−2)(x+4)24(x−1)(x+3)​=1

Шаг 3: Объединяем дроби

Теперь, когда у нас одинаковые знаменатели, можем объединить дроби:

6(x−2)(x+4)−24(x−1)(x+3)(x−1)(x+3)(x−2)(x+4)=1\frac{6(x-2)(x+4) — 24(x-1)(x+3)}{(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)} = 1(x−1)(x+3)(x−2)(x+4)6(x−2)(x+4)−24(x−1)(x+3)​=1

Шаг 4: Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)$ для устранения дробей:

$$6(x-2)(x+4)-24(x-1)(x+3)=(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)$$

Шаг 5: Раскрываем скобки

Теперь раскрываем все скобки в уравнении.

1. Для первой части:

6(x−2)(x+4)=6(x2+4x−2x−8)=6(x2+2x−8)=6×2+12x−486(x-2)(x+4) = 6(x^2 + 4x — 2x — 8) = 6(x^2 + 2x — 8) = 6x^2 + 12x — 486(x−2)(x+4)=6(x2+4x−2x−8)=6(x2+2x−8)=6x2+12x−48

2. Для второй части:

24(x−1)(x+3)=24(x2+3x−x−3)=24(x2+2x−3)=24×2+48x−7224(x-1)(x+3) = 24(x^2 + 3x — x — 3) = 24(x^2 + 2x — 3) = 24x^2 + 48x — 7224(x−1)(x+3)=24(x2+3x−x−3)=24(x2+2x−3)=24x2+48x−72

3. Правая часть уравнения:

$$(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)$$

Сначала умножим первые две пары скобок:

(x−1)(x+3)=x2+2x−3(x-1)(x+3) = x^2 + 2x — 3(x−1)(x+3)=x2+2x−3 (x−2)(x+4)=x2+2x−8(x-2)(x+4) = x^2 + 2x — 8(x−2)(x+4)=x2+2x−8

Теперь умножим эти два выражения:

(x2+2x−3)(x2+2x−8)(x^2 + 2x — 3)(x^2 + 2x — 8)(x2+2x−3)(x2+2x−8)

Используем метод распределения для раскрытия этого произведения:

x2(x2+2x−8)+2x(x2+2x−8)−3(x2+2x−8)x^2(x^2 + 2x — 8) + 2x(x^2 + 2x — 8) — 3(x^2 + 2x — 8)x2(x2+2x−8)+2x(x2+2x−8)−3(x2+2x−8)

Раскрываем скобки:

x4+2×3−8×2+2×3+4×2−16x−3×2−6x+24x^4 + 2x^3 — 8x^2 + 2x^3 + 4x^2 — 16x — 3x^2 — 6x + 24x4+2x3−8x2+2x3+4x2−16x−3x2−6x+24

Теперь группируем подобные члены:

x4+4×3−7×2−22x+24x^4 + 4x^3 — 7x^2 — 22x + 24x4+4x3−7x2−22x+24

Шаг 6: Получаем полное уравнение

Теперь подставляем все раскрытые выражения в исходное уравнение:

6×2+12x−48−(24×2+48x−72)=x4+4×3−7×2−22x+246x^2 + 12x — 48 — (24x^2 + 48x — 72) = x^4 + 4x^3 — 7x^2 — 22x + 246x2+12x−48−(24x2+48x−72)=x4+4x3−7x2−22x+24

Упрощаем:

6×2+12x−48−24×2−48x+72=x4+4×3−7×2−22x+246x^2 + 12x — 48 — 24x^2 — 48x + 72 = x^4 + 4x^3 — 7x^2 — 22x + 246x2+12x−48−24x2−48x+72=x4+4x3−7x2−22x+24 −18×2−36x+24=x4+4×3−7×2−22x+24-18x^2 — 36x + 24 = x^4 + 4x^3 — 7x^2 — 22x + 24−18x2−36x+24=x4+4x3−7x2−22x+24

Переносим все в одну сторону уравнения:

0=x4+4×3+11×2+14×0 = x^4 + 4x^3 + 11x^2 + 14x=x4+4x3+11x2+14x

Шаг 7: Решаем уравнение

Вынесем общий множитель $x$:

0=x(x3+4×2+11x+14)0 = x(x^3 + 4x^2 + 11x + 14)=x(x3+4x2+11x+14)

Одно из решений очевидно:

$$x=$$

Теперь решаем кубическое уравнение:

x3+4×2+11x+14=0x^3 + 4x^2 + 11x + 14 = 0x3+4x2+11x+14=

Методами подбора или с помощью формулы Кардано можно найти корни этого уравнения, однако для удобства можно воспользоваться численными методами или программами, чтобы получить точные корни этого кубического уравнения.

Таким образом, одно решение уже найдено ($x=$), и для нахождения других корней требуется решить кубическое уравнение.