Как решить параметр: sin2√πax-x² — sin√πax-x² = 0?

Рассмотрим задачу: решить параметрическое уравнение:

sin⁡(2πax−x2)−sin⁡(πax−x2)=0\sin(2\sqrt{\pi ax — x^2}) — \sin(\sqrt{\pi ax — x^2}) = 0sin(2πax−x2​)−sin(πax−x2​)=

Чтобы решить его, начнем с того, что можно упростить уравнение. Обратите внимание, что у нас есть разность синусов. Вспоминаем формулу для разности синусов:

sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡(A+B2)sin⁡(A−B2)\sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A+B}{2} \right) \sin\left( \frac{A-B}{2} \right)sinA−sinB=2cos(2A+B​)sin(2A−B​)

Применив эту формулу к нашему уравнению, получаем:

2cos⁡(2πax−x2+πax−x22)sin⁡(2πax−x2−πax−x22)=02 \cos\left( \frac{2\sqrt{\pi ax — x^2} + \sqrt{\pi ax — x^2}}{2} \right) \sin\left( \frac{2\sqrt{\pi ax — x^2} — \sqrt{\pi ax — x^2}}{2} \right) = 02cos(22πax−x2​+πax−x2​​)sin(22πax−x2​−πax−x2​​)=

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое равно нулю. Это выражение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разберем оба случая.

Первый множитель:

cos⁡(2πax−x2+πax−x22)=0\cos\left( \frac{2\sqrt{\pi ax — x^2} + \sqrt{\pi ax — x^2}}{2} \right) = 0cos(22πax−x2​+πax−x2​​)=

Это уравнение будет равно нулю, если его аргумент равен нечетному числу π2\frac{\pi}{2}2π​:

2πax−x2+πax−x22=π2+kπ,k∈Z\frac{2\sqrt{\pi ax — x^2} + \sqrt{\pi ax — x^2}}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}22πax−x2​+πax−x2​​=2π​+kπ,k∈Z

Упростим:

πax−x2(1+12)=π2+kπ\sqrt{\pi ax — x^2} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2} + k\piπax−x2​(1+21​)=2π​+kπ 32πax−x2=π2+kπ\frac{3}{2} \sqrt{\pi ax — x^2} = \frac{\pi}{2} + k\pi23​πax−x2​=2π​+kπ

Теперь умножим обе части на 23\frac{2}{3}32​:

πax−x2=π3+2kπ3\sqrt{\pi ax — x^2} = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}πax−x2​=3π​+32kπ​

Возводим обе части в квадрат:

πax−x2=(π3+2kπ3)2\pi ax — x^2 = \left( \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \right)^2πax−x2=(3π​+32kπ​)2

Это дает уравнение для πax−x2\pi ax — x^2πax−x2.

Второй множитель:

sin⁡(2πax−x2−πax−x22)=0\sin\left( \frac{2\sqrt{\pi ax — x^2} — \sqrt{\pi ax — x^2}}{2} \right) = 0sin(22πax−x2​−πax−x2​​)=

Это уравнение равно нулю, если его аргумент равен целому числу $\pi$:

2πax−x2−πax−x22=nπ,n∈Z\frac{2\sqrt{\pi ax — x^2} — \sqrt{\pi ax — x^2}}{2} = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}22πax−x2​−πax−x2​​=nπ,n∈Z

Упростим:

πax−x2(2−1)=2nπ\sqrt{\pi ax — x^2} \left( 2 — 1 \right) = 2n\piπax−x2​(2−1)=2nπ πax−x2=2nπ\sqrt{\pi ax — x^2} = 2n\piπax−x2​=2nπ

Возводим обе части в квадрат:

πax−x2=4n2π2\pi ax — x^2 = 4n^2\pi^2πax−x2=4n2π2

Теперь мы имеем два уравнения для πax−x2\pi ax — x^2πax−x2, которые можно решить относительно $x$ и $a$, подставив их в исходное уравнение и решив для параметра $a$.