Как найти косинус острого угла, если его синус — 12 /13 найти его тангенса?

Как найти косинус и тангенс острого угла, если синус равен 12/13

Если дано значение синуса острого угла, например, sin⁡θ=1213\sin \theta = \frac{12}{13}sinθ=1312​, то можно вычислить и другие тригонометрические функции, такие как косинус и тангенс. Для этого нужно использовать базовые тригонометрические идентичности.

Шаг 1: Найдем косинус угла с использованием теоремы Пифагора.

Из известной тригонометрической идентичности:

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1sin2θ+cos2θ=1

Подставим известное значение sin⁡θ=1213\sin \theta = \frac{12}{13}sinθ=1312​:

(1213)2+cos⁡2θ=1\left(\frac{12}{13}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1(1312​)2+cos2θ=1

Вычислим квадрат синуса:

144169+cos⁡2θ=1\frac{144}{169} + \cos^2 \theta = 1169144​+cos2θ=1

Теперь, чтобы найти cos⁡2θ\cos^2 \thetacos2θ, вычитаем 144169\frac{144}{169}169144​ из 1:

cos⁡2θ=1−144169=169169−144169=25169\cos^2 \theta = 1 — \frac{144}{169} = \frac{169}{169} — \frac{144}{169} = \frac{25}{169}cos2θ=1−169144​=169169​−169144​=16925​

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

cos⁡θ=513\cos \theta = \frac{5}{13}cosθ=135​

Так как угол острый, то косинус будет положительным.

Шаг 2: Найдем тангенс угла.

Тангенс угла можно вычислить с использованием формулы:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}tanθ=cosθsinθ​

Подставим значения sin⁡θ=1213\sin \theta = \frac{12}{13}sinθ=1312​ и cos⁡θ=513\cos \theta = \frac{5}{13}cosθ=135​:

tan⁡θ=1213513=125\tan \theta = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}tanθ=135​1312​​=512​

Таким образом, тангенс угла равен 125\frac{12}{5}512​.

Ответ:

• Косинус угла cos⁡θ=513\cos \theta = \frac{5}{13}cosθ=135​
• Тангенс угла tan⁡θ=125\tan \theta = \frac{12}{5}tanθ=512​